شرح درس ضرب المصفوفات 2026.. القاعدة وطريقة الحل وأمثلة محلولة

يبحث كثير من الطلاب عن شرح درس ضرب المصفوفات بطريقة سهلة ومبسطة، خاصة أن هذا الدرس من الموضوعات امهمة في مادة الرياضيات، ويحتاج إلى فهم القاعدة الأساسية وتطبيقها بصورة صحيحة للوصول إلى الناتج النهائي. ويعتمد ضرب المصفوفات على ترتيب الصفوف والأعمدة، مع ضرورة التأكد من توافق أبعاد المصفوفتين قبل إجراء عملية الضرب.

ما المقصود بضرب المصفوفات؟

ضرب المصفوفات هو إحدى العمليات الحسابية التي تُجرى على المصفوفات، ويعتمد على ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في العناصر المناظرة لها من العمود الأول في المصفوفة الثانية، ثم جمع النواتج للحصول على العنصر الموجود في المصفوفة الناتجة.

ولا يتم ضرب المصفوفات بضرب كل عنصر في المصفوفة الأولى في العنصر المقابل له في المصفوفة الثانية، بل تتم العملية وفق قاعدة الصف في العمود.

شروط ضرب المصفوفات

حتى يمكن ضرب مصفوفتين، يجب أن يتساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية.

فعلى سبيل المثال، إذا كان لدينا مصفوفة أبعادها 2×3، ومصفوفة أخرى أبعادها 3×2، فيمكن إجراء عملية الضرب بينهما؛ لأن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية.

أما أبعاد المصفوفة الناتجة فتكون بعدد صفوف المصفوفة الأولى وعدد أعمدة المصفوفة الثانية، وبالتالي يكون الناتج في المثال السابق مصفوفة أبعادها 2×2.

طريقة ضرب المصفوفات خطوة بخطوة

لحل أي مسألة تتعلق بضرب المصفوفات، يبدأ الطالب بتحديد أبعاد المصفوفتين والتأكد من إمكانية إجراء عملية الضرب، ثم يضرب عناصر كل صف في عناصر العمود المقابل له، ويجمع النواتج للحصول على العنصر المطلوب.

وتُكرر العملية نفسها مع كل صف وعمود حتى تكتمل جميع عناصر المصفوفة الناتجة.

مثال محلول على ضرب المصفوفات

إذا كانت لدينا المصفوفتان:

أ = [[1، 2]، [3، 4]]

ب = [[5، 6]، [7، 8]]

فإن المطلوب هو إيجاد حاصل ضرب أ × ب.

نبدأ بحساب العنصر الأول في المصفوفة الناتجة، من خلال ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة أ في عناصر العمود الأول من المصفوفة ب، ثم جمع الناتجين:

1 × 5 + 2 × 7 = 19

بعد ذلك نحسب العنصر الثاني في الصف الأول:

1 × 6 + 2 × 8 = 22

ثم نحسب العنصر الأول في الصف الثاني:

3 × 5 + 4 × 7 = 43

وأخيرًا نحسب العنصر الثاني في الصف الثاني:

3 × 6 + 4 × 8 = 50

وبذلك تكون المصفوفة الناتجة:

أ × ب = [[19، 22]، [43، 50]]

هل يمكن تبديل ترتيب المصفوفات عند الضرب؟

لا يمكن افتراض أن تبديل ترتيب المصفوفات يعطي الناتج نفسه؛ فضرب المصفوفات لا يحقق خاصية الإبدال بصفة عامة، أي إن حاصل ضرب أ × ب قد يختلف عن حاصل ضرب ب × أ، وقد تكون إحدى العمليتين غير ممكنة من الأساس بسبب اختلاف الأبعاد.

لذلك يجب الالتزام بترتيب المصفوفات الوارد في السؤال، وعدم تبديلها أثناء الحل.

الفرق بين ضرب المصفوفات وجمع المصفوفات

يختلف ضرب المصفوفات عن جمعها في طريقة إجراء العملية الحسابية، إذ يتطلب جمع مصفوفتين أن تكونا متماثلتين في عدد الصفوف والأعمدة، ثم تُجمع العناصر المتناظرة في المواضع نفسها.

أما ضرب المصفوفات فيعتمد على توافق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية، وتُحسب عناصر الناتج باستخدام قاعدة ضرب الصف في العمود.

أسئلة مهمة على درس ضرب المصفوفات بالإجابات

متى يمكن ضرب مصفوفتين؟

يمكن ضرب مصفوفتين عندما يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد صفوف المصفوفة الثانية.

ما أبعاد المصفوفة الناتجة من ضرب مصفوفتين؟

تكون أبعاد المصفوفة الناتجة مساوية لعدد صفوف المصفوفة الأولى وعدد أعمدة المصفوفة الثانية.

هل ضرب المصفوفات عملية إبدالية؟

لا، ضرب المصفوفات ليس إبداليًا بصفة عامة، فقد يختلف حاصل ضرب أ × ب عن حاصل ضرب ب × أ.

كيف نحسب عناصر المصفوفة الناتجة؟

نضرب عناصر الصف في عناصر العمود المقابل لها، ثم نجمع النواتج للحصول على العنصر المطلوب.

هل يمكن ضرب مصفوفة 2×3 في مصفوفة 2×2؟

لا يمكن؛ لأن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي 3، بينما عدد صفوف المصفوفة الثانية يساوي 2، وبالتالي لا يتحقق شرط الضرب.

تدريبات على ضرب المصفوفات

إذا كانت المصفوفة أ أبعادها 3×2 والمصفوفة ب أبعادها 2×4، فما أبعاد المصفوفة الناتجة من أ × ب؟

إذا كانت المصفوفة أ أبعادها 2×3 والمصفوفة ب أبعادها 3×5، فهل يمكن ضرب المصفوفتين؟

احسب حاصل ضرب المصفوفتين:

أ = [[2، 1]، [0، 3]]

ب = [[4، 2]، [5، 1]]