شرح درس التكبير والتصغير ثاني متوسط.. الأمثلة المحلولة والتدريبات

يبحث طلاب الصف الثاني المتوسط في المملكة العربية السعودية عن شرح درس التكبير والتصغير ثاني متوسط، لفهم أحد الموضوعات المهمة في مادة الرياضيات، والذي يعتمد على استخدام معامل القياس لتغيير أبعاد الأشكال الهندسية مع الحفاظ على شكلها ونسبها.

ويُعد التكبير والتصغير من المفاهيم الرياضية التي تساعد الطلاب على فهم العلاقة بين الأشكال الأصلية والصور الناتجة عنها، سواء عند تكبير شكل هندسي أو تصغيره، كما يرتبط هذا الدرس بتطبيقات عملية عديدة، مثل الخرائط والمجسمات والتصميم الهندسي والصور الفوتوغرافية.

ونستعرض خلال هذا التقرير شرح درس التكبير والتصغير للصف الثاني المتوسط بطريقة مبسطة، مع توضيح القوانين الأساسية والأمثلة المحلولة والتدريبات التي تساعد الطلاب على استيعاب الدرس والاستعداد للاختبارات.

ما المقصود بالتكبير والتصغير في الرياضيات؟

التكبير والتصغير هما عمليتان رياضيتان يتم من خلالهما تغيير حجم الشكل الهندسي باستخدام معامل قياس محدد، مع المحافظة على شكل الزوايا وتناسب الأطوال المتناظرة.

ويحدث التكبير عندما تكون الصورة الناتجة أكبر من الشكل الأصلي، بينما يحدث التصغير عندما تكون الصورة أصغر من الشكل الأصلي.

ويُستخدم معامل القياس لتحديد مقدار التغيير في أبعاد الشكل، ويُحسب من خلال قسمة طول أحد أضلاع الصورة على طول الضلع المناظر له في الشكل الأصلي.

ما معامل القياس في التكبير والتصغير؟

معامل القياس هو العدد الذي يحدد مقدار تكبير الشكل الهندسي أو تصغيره، ويُستخدم لمقارنة أطوال الأضلاع المتناظرة بين الشكل الأصلي والصورة الناتجة.

ويمكن حساب معامل القياس باستخدام القانون التالي:

معامل القياس = طول الضلع في الصورة ÷ طول الضلع في الشكل الأصلي.

وتختلف النتيجة وفق قيمة معامل القياس، حيث:

إذا كان معامل القياس أكبر من 1، يكون الشكل الناتج تكبيرًا للشكل الأصلي.

إذا كان معامل القياس أكبر من صفر وأقل من 1، يكون الشكل الناتج تصغيرًا للشكل الأصلي.

إذا كان معامل القياس يساوي 1، فإن الشكل الناتج يساوي الشكل الأصلي في الحجم.

شرح طريقة التكبير في الرياضيات ثاني متوسط

يحدث التكبير عندما نستخدم معامل قياس أكبر من الواحد الصحيح، ما يؤدي إلى زيادة أطوال أضلاع الشكل مع المحافظة على نسبها.

مثال:

إذا كان طول ضلع في الشكل الأصلي يساوي 4 سم، وأردنا تكبيره بمعامل قياس 3، فما طول الضلع الجديد؟

الحل:

طول الضلع الجديد = طول الضلع الأصلي × معامل القياس.

طول الضلع الجديد = 4 × 3.

إذن طول الضلع الجديد = 12 سم.

وبذلك يكون طول الضلع بعد التكبير 12 سم بدلًا من 4 سم.

شرح طريقة التصغير في الرياضيات ثاني متوسط

يحدث التصغير عندما يكون معامل القياس أكبر من صفر وأقل من الواحد الصحيح، ما يؤدي إلى تقليل أطوال أضلاع الشكل مع الحفاظ على التناسب بينها.

مثال:

إذا كان طول ضلع في شكل هندسي 15 سم، وأردنا تصغيره بمعامل قياس 0.5، فما طول الضلع بعد التصغير؟

الحل:

طول الضلع الجديد = طول الضلع الأصلي × معامل القياس.

طول الضلع الجديد = 15 × 0.5.

إذن طول الضلع الجديد = 7.5 سم.

وبذلك أصبح طول الضلع نصف طوله الأصلي.

ما الفرق بين التكبير والتصغير؟

يتمثل الفرق الأساسي بين التكبير والتصغير في قيمة معامل القياس المستخدم، ومدى تأثيره على أبعاد الشكل الهندسي.

التكبير: زيادة أبعاد الشكل الأصلي باستخدام معامل قياس أكبر من الواحد الصحيح.

التصغير: تقليل أبعاد الشكل الأصلي باستخدام معامل قياس موجب أقل من الواحد الصحيح.

وفي الحالتين، تظل الزوايا المتناظرة متساوية، وتظل الأضلاع المتناظرة متناسبة، ما يعني أن الشكلين متشابهان.

ما خصائص الأشكال الناتجة عن التكبير والتصغير؟

توجد مجموعة من الخصائص التي تميز الأشكال الناتجة عن عمليتي التكبير والتصغير، ومن أبرزها:

الحفاظ على شكل المجسم أو الشكل الهندسي الأصلي.

تساوي قياسات الزوايا المتناظرة.

تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة.

اختلاف الحجم والمساحة بحسب معامل القياس.

بقاء الشكلين متشابهين عند تطبيق معامل قياس موجب.

ومن المهم معرفة أن المساحة لا تتغير بنفس نسبة تغير الأطوال، بل تتغير بمربع معامل القياس، بينما يتغير الحجم بمكعب معامل القياس في الأشكال ثلاثية الأبعاد.

أمثلة محلولة على درس التكبير والتصغير ثاني متوسط

المثال الأول:

مستطيل طوله 8 سم وعرضه 5 سم، تم تكبيره بمعامل قياس يساوي 2، احسب الطول والعرض الجديدين.

الحل:

الطول الجديد = 8 × 2 = 16 سم.

العرض الجديد = 5 × 2 = 10 سم.

إذن أبعاد المستطيل بعد التكبير هي 16 سم طولًا و10 سم عرضًا.

المثال الثاني:

مربع طول ضلعه 12 سم، تم تصغيره بمعامل قياس يساوي 0.25، احسب طول الضلع الجديد.

الحل:

طول الضلع الجديد = 12 × 0.25.

إذن طول الضلع الجديد = 3 سم.

المثال الثالث:

إذا كان طول ضلع في الشكل الأصلي 6 سم، وطول الضلع المناظر له في الصورة 18 سم، فما معامل القياس؟

الحل:

معامل القياس = طول الضلع في الصورة ÷ طول الضلع الأصلي.

معامل القياس = 18 ÷ 6.

إذن معامل القياس = 3، وبالتالي حدث تكبير للشكل.

المثال الرابع:

إذا كان طول ضلع في الشكل الأصلي 20 سم، وأصبح طوله في الصورة 10 سم، فما معامل القياس؟

الحل:

معامل القياس = 10 ÷ 20.

إذن معامل القياس = 0.5، وبالتالي حدث تصغير للشكل.

ما العلاقة بين التكبير والتصغير والمساحة؟

عند تكبير أو تصغير شكل هندسي، لا تتغير أطوال الأضلاع فقط، بل تتغير مساحة الشكل أيضًا وفق قاعدة رياضية محددة.

مساحة الصورة الجديدة = مساحة الشكل الأصلي × مربع معامل القياس.

مثال:

إذا كانت مساحة مربع 16 سم²، وتم تكبيره بمعامل قياس يساوي 2، فما مساحته الجديدة؟

الحل:

المساحة الجديدة = 16 × 2².

المساحة الجديدة = 16 × 4.

إذن المساحة الجديدة = 64 سم².

وهذا يعني أن مضاعفة أطوال الأضلاع تؤدي إلى زيادة المساحة أربعة أضعاف.

ما استخدامات التكبير والتصغير في الحياة اليومية؟

لا يقتصر استخدام التكبير والتصغير على المسائل الرياضية داخل الفصل الدراسي، بل يدخل في العديد من التطبيقات العملية، ومنها:

• الخرائط التي تعرض المسافات الحقيقية بمقاييس رسم مصغرة.
• تصميم المباني والنماذج الهندسية.
• تكبير الصور والرسومات باستخدام برامج التصميم.
• صناعة المجسمات المصغرة للسيارات والطائرات.
• إعداد المخططات الهندسية للمشروعات.
• استخدام المجاهر لتكبير الأجسام الدقيقة.

أهم القوانين في درس التكبير والتصغير ثاني متوسط

يمكن تلخيص أهم القوانين التي يحتاج إليها الطالب في هذا الدرس فيما يلي:

• معامل القياس = طول الضلع في الصورة ÷ طول الضلع الأصلي.
• طول الضلع الجديد = طول الضلع الأصلي × معامل القياس.
• المساحة الجديدة = المساحة الأصلية × (معامل القياس)².
• الحجم الجديد = الحجم الأصلي × (معامل القياس)³.

وتساعد هذه القوانين على حل معظم المسائل المتعلقة بتغيير أبعاد الأشكال الهندسية.

تدريبات على درس التكبير والتصغير ثاني متوسط مع الإجابات

السؤال الأول: اختر الإجابة الصحيحة.

1. إذا كان معامل القياس 3، فإن الشكل الناتج يكون:
أ) تصغيرًا.
ب) تكبيرًا.
ج) مساويًا للأصل.
د) لا يمكن تحديد ذلك.

2. إذا كان طول ضلع الشكل الأصلي 10 سم، ومعامل القياس 0.5، فإن طول الضلع الجديد:
أ) 2 سم.
ب) 5 سم.
ج) 10 سم.
د) 20 سم.

3. إذا كان معامل القياس يساوي 1، فإن الشكل الناتج:
أ) أكبر من الأصل.
ب) أصغر من الأصل.
ج) مساوي للأصل في الأبعاد.
د) مختلف في الشكل.

4. إذا تضاعفت أطوال أضلاع مربع، فإن مساحته تصبح:
أ) الضعف.
ب) ثلاثة أضعاف.
ج) أربعة أضعاف.
د) نصف المساحة.

السؤال الثاني: أوجد الناتج.

مستطيل طوله 6 سم، تم تكبيره بمعامل قياس 4، أوجد طوله الجديد.

مثلث طول أحد أضلاعه 18 سم، تم تصغيره بمعامل قياس 0.5، أوجد طول الضلع الجديد.

شكل هندسي طول ضلعه الأصلي 7 سم، وأصبح 21 سم بعد التكبير، أوجد معامل القياس.

مربع مساحته 25 سم²، تم تكبيره بمعامل قياس 3، أوجد مساحته الجديدة.

الإجابات النموذجية:

السؤال الأول: 1- ب، 2- ب، 3- ج، 4- ج.

السؤال الثاني: 1- 24 سم، 2- 9 سم، 3- 3، 4- 225 سم².

أسئلة شائعة عن شرح درس التكبير والتصغير ثاني متوسط

• متى يكون الشكل تكبيرًا؟

عندما يكون معامل القياس أكبر من الواحد الصحيح.

• متى يكون الشكل تصغيرًا؟

عندما يكون معامل القياس أكبر من صفر وأقل من الواحد الصحيح.

• هل تتغير الزوايا عند التكبير والتصغير؟

لا، تظل الزوايا المتناظرة متساوية، بينما تتغير أطوال الأضلاع بنسب متساوية.

• كيف أحسب طول الشكل بعد التكبير؟

نضرب طول الضلع الأصلي في معامل القياس.

• كيف أحسب طول الشكل بعد التصغير؟

نضرب طول الضلع الأصلي في معامل قياس موجب أقل من الواحد الصحيح.

• هل تتغير مساحة الشكل عند التكبير؟

نعم، تتغير المساحة بمقدار مربع معامل القياس.